2025年第41屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）決賽的六道題目，是數(shù)百名數(shù)學(xué)天才兩天內(nèi)需要攻克的堡壘，也是中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)對(duì)未來(lái)數(shù)學(xué)英才的集中考驗(yàn)。2025年第41屆中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克（CMO）決賽將于11月下旬在山西大學(xué)附屬中學(xué)舉辦。這場(chǎng)國(guó)內(nèi)最高水平的中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽，其試題來(lái)源與命題風(fēng)格一直備受關(guān)注。

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2025年數(shù)學(xué)競(jìng)賽決賽（CMO）的試題來(lái)源和命題風(fēng)格是怎樣的？

　　CMO 試題嚴(yán)格遵循“代數(shù)、幾何、數(shù)論、組合”四大模塊的命題框架，題目全部為解答題或證明題，不設(shè)選擇題或填空題。

01 命題機(jī)構(gòu)與學(xué)術(shù)依據(jù)

　　CMO命題工作由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)組成的專家委員會(huì)負(fù)責(zé)，其命題以國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克(IMO)為參照，采用類似的“兩天、三場(chǎng)、六題”模式。

　　命題組發(fā)布的《CMO命題說(shuō)明》明確表示，試題不出超綱內(nèi)容，但允許使用高二以上“自證可得”的定理，鼓勵(lì)選手展現(xiàn)創(chuàng)造性與推廣能力。

　　在評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)上，CMO按照“思路+細(xì)節(jié)”雙重維度給分，與IMO接軌。即使最終答案不完全正確，清晰的思路和部分正確的推導(dǎo)仍可能獲得分?jǐn)?shù)。

02 試題來(lái)源與知識(shí)構(gòu)成

　　CMO試題有穩(wěn)定的知識(shí)板塊分布。近五年統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，決賽六題中各模塊大致權(quán)重為：代數(shù)占約35%，幾何占約25%，數(shù)論占約20%，組合占約20%，與IMO格局高度一致。

　　代數(shù)部分側(cè)重函數(shù)方程、不等式與多項(xiàng)式理論。2024年CMO第1題已考“加權(quán)柯西放縮”，2025年預(yù)測(cè)可能出現(xiàn)對(duì)稱多項(xiàng)式與牛頓恒等式綜合。

　　幾何板塊以平面幾何占據(jù)絕對(duì)主導(dǎo)，立體幾何已連續(xù)5年未單獨(dú)命題。近年出現(xiàn)幾何與代數(shù)工具結(jié)合的交叉題型，如2023年第5題需用復(fù)數(shù)法證明幾何性質(zhì)。

　　數(shù)論部分高頻考點(diǎn)包括同余理論、佩爾方程、二次型以及原根理論。2024年CMO第3題創(chuàng)新性地將數(shù)論與組合思想結(jié)合，要求證明特定整數(shù)序列的存在性。

　　組合數(shù)學(xué)以圖論和組合構(gòu)造為兩大主軸，命題越來(lái)越強(qiáng)調(diào)“構(gòu)造并證明最優(yōu)性”的雙重要求。

03 命題風(fēng)格與難度特征

　　CMO命題風(fēng)格以純證明、大跨度、高區(qū)分為主要特征。每題21分，強(qiáng)調(diào)完整書(shū)寫(xiě)與邏輯鏈。

　　題目難度呈明顯階梯分布。根據(jù)2024年數(shù)據(jù)，第1、4題相對(duì)可上手，平均得分率分別為68%和62%;而第3、5、6題難度顯著增加，得分率分別只有12%、28%和5%。

　　近年來(lái)，CMO命題出現(xiàn)跨模塊綜合的趨勢(shì)，一道題可能同時(shí)涉及多個(gè)數(shù)學(xué)分支。

　　2024年命題還出現(xiàn)新趨勢(shì)：第3題首次要求使用概率方法證明確定性結(jié)論，反映了競(jìng)賽對(duì)跨領(lǐng)域思維能力的重視。

　　壓軸題(第6題)連續(xù)三年涉及組合極值理論，2024年更要求選手自行提出并證明最優(yōu)界。

04 備考指南與能力培養(yǎng)

　　針對(duì)CMO的命題特點(diǎn)，備考者需要在掌握核心方法的同時(shí)，注重培養(yǎng)數(shù)學(xué)直覺(jué)的形成、跨知識(shí)模塊的聯(lián)想能力以及嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表達(dá)規(guī)范。

　　在代數(shù)方面，考生應(yīng)熟練掌握變量代換、構(gòu)造輔助函數(shù)等技巧。幾何備考則需掌握復(fù)數(shù)坐標(biāo)、向量法與三角法三大工具。

　　數(shù)論與組合的學(xué)習(xí)需注重開(kāi)放性思維訓(xùn)練，尤其是“構(gòu)造并證明最優(yōu)性”這類要求創(chuàng)造性思維的任務(wù)。

　　模擬實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練不可或缺。建議參加CMO模擬賽，適應(yīng)高強(qiáng)度計(jì)算和創(chuàng)造性思維要求，并分析歷年真題，總結(jié)高頻考點(diǎn)。

　　縱觀近年CMO命題軌跡，從純技巧展示轉(zhuǎn)向綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng)考核的趨勢(shì)愈發(fā)明顯。

　　命題組不再滿足于考生熟練運(yùn)用已知定理，而是期待他們?cè)谀吧榫持袆?chuàng)造性構(gòu)建數(shù)學(xué)邏輯。

　　對(duì)于參賽者而言，最終在太原賽場(chǎng)決定的不僅是獎(jiǎng)項(xiàng)歸屬，更是對(duì)中國(guó)未來(lái)數(shù)學(xué)英才能力方向的深刻啟示。

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